黎曼函数极限为零证明

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所谓黎曼函数R(x),是定义在区间0~1上的一个构造函数：当x是有理数p/q（p、q为互质整数）时,R(x)=1/q;当x是无理数时,R(x)=0.黎曼函数是由黎曼进行定义,用来作为数学分析中反例说明函数方面的待证性质的.如：黎曼函数在（0,1）内所有无理数点处连续,在所有有理数点处间断.每一点处都存在着极限,且极限都是0（可见间断点都属第一类中的可去间断点）.这个函数在[0,1]上可积,它在[0,1]上的定积分为0,等等.下面将对黎曼函数的间断点是第一类间断点中的可去间断点进行证明.

先证明对于（0,1）中的任意一点a,当x→a时,limR(x)=0,这是因为,对任意正数ε,要使|R(x)-0|>ε成立,x显然不能取为无理数,因为x为无理数时,R(x)=0,不可能让0大于正数ε.而当x为有理数p/q时,R(x)=1/q.而要|R(x)-0|>ε成立,即1/q>ε,q

规定x=0可写成0/1，因为x=1可写成1/1，x=2可写成2/1，....，x=k可写成k/1，此时R(x)=1，即x=0，1，2，...k，周期为1，所以黎曼函数又可写成：

证明：?x0∈(-∞，+∞)，lim(x→x0)R(x)=0，即R(x)在一切无理点连续，在有理点不连续.

证：由R(x)周期性，只考虑[0,1]中的点，即证x0∈[0,1]，lim(x→x0)R(x)=0.

在[0,1]中，分母为1的数：0/1，1/1

分母为2的数：1/2

分母为3的数：1/3，2/3

…

分母为k的数：至多k个，k是正整数

对任意正整数k，[0,1]上分母≤k的有理数有限个

由函数极限定义：

ε＞0，找δ＞0，记k=[1/ε]，在[0,1]中分母≤k的有理数记为r1，r2，…，rn